命題１５
連続して比例する３つの数がそれらと同じ比を持つ数のうち最小であるならば、どの２つの数の和も余りの数に対して互いに素である。
連続して比例する３つの数A、B、Cがそれらと同じ比を持つ数のうち最小であるとする。
A、B、Cのどの２つの数の和も余りの数に対して互いに素であることをいう。つまり、A+BがCに対して互いに素であり、B+CがAに対して互いに素であり、A+CがBに対して互いに素である。
A、B、Cと同じ比を持つ数の最小数である２つの数DEとEFを取る。propositionⅧ．２
DEにDEを掛けてAを作り、EFを掛けてBを作り、EFにEFを掛けてCを作ることは明白である。propositionⅧ．２
DEとEFは最小であるから、それゆえにそれらは互いに素である。しかし、２つの数が互いに素であるならば、それらの和もまたそれぞれに対して互いに素であり、それゆえにDFはDEとEFのそれぞれに対して互いに素である。propositionⅦ．２２、propositionⅦ．２８
しかし、さらに、DEはEFに対して互いに素であり、それゆえにDFとDEはEFに対して互いに素である。しかし２つの数がある数に対して互いに素であるならば、それらの積もまた他の数に対して互いに素であり、だからFDとDEの積はEFに対して互いに素であり、それゆえにFDとDEの積もまたEFの平方に対して互いに素である。propositionⅦ．２４、propositionⅦ．２５
しかしFDとDEの積はDEとEFの積とともにDEの平方であり、それゆえにDEの平方とDEとEFの積の和はEFの平方に対して互いに素である。propositionⅡ．３
そしてDEの平方はAであり、DEとEFの積はBであり、EFの平方はCであり、それゆえにAとBの和はCに対して素である。
同じようにBとCの和もまたBに対して互いに素であることを証明できる。
次にAとCの和もまたBに対して互いに素であることをいう。
DFはDEとEFのそれぞれに対して互いに素であるから、それゆえにDFの平方もまたDEとEFの積に対して互いに素である。propositionⅦ．２４、propositionⅦ．２５
しかしDEとEFの積の２倍とともにDEとEFの平方の和はDFの平方と等しく、それゆえにDEとEFの積の２倍とともにDEとEFの平方の和はDEとEFの積に対して互いに素である。propositionⅡ．４
分けて取られて、DEとEFの積とともにDEとEFの平方の和はDEとEFの積に対して互いに素である。
それゆえに、再度分けて取られて、DEとEFの平方の和はDEとEFの積に対して互いに素である。
そしてDEの平方はAであり、DEとEFの積はBであり、EFの平方はCである。
それゆえにAとCの和はBに対して互いに素である。
それゆえに、連続して比例する３つの数がそれらと同じ比を持つ数のうち最小であるならば、どの２つの数の和も余りの数に対して互いに素である。
証明終了